Question

11．已知数列{a_n}满足a_n+1=a_n-$\frac{1}{n（n+1）}$，a₁=3，数列{b_n}的前n项和S_n=-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{401}{2}$n+1
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{b}_{n}}$，求数列{c_n}的最小项．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1-a_n=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n}$，并项累加即得数列{a_n}的通项，利用b_n+1=S_n+1-S_n及b₁=-200，可得数列{b_n}的通项；
（2）通过当n≥2时，利用基本不等式可得a_n•b_n=-401-（2n+$\frac{200}{n}$）≤-441，进而可得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n-$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴a_n+1-a_n=-$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n}$，
累加可得：a_n-a₁=$\frac{1}{n}$-1，
∴a_n=a₁+$\frac{1}{n}$-1=2+$\frac{1}{n}$，
即数列{a_n}的通项为：a_n=2+$\frac{1}{n}$；
∵S_n=-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{401}{2}$n+1，
∴S_n+1=-$\frac{1}{2}$（n+1）²-$\frac{401}{2}$（n+1）+1，
两式相减得：b_n+1=S_n+1-S_n
=[-$\frac{1}{2}$（n+1）²-$\frac{401}{2}$（n+1）+1]-[-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{401}{2}$n+1]
=-n-201，
即b_n+1=-（n+1）-200，
又b₁=-$\frac{1}{2}$-$\frac{401}{2}$+1=-200，
∴数列{b_n}的通项为：b_n=$\left\{\begin{array}{l}{-200，}&{n=1}\\{-200-n，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）∵c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{b}_{n}}$，∴c₁=$\frac{1}{{a}_{1}•{b}_{1}}$=$\frac{1}{3•（-200）}$=-$\frac{1}{600}$；
当n≥2时，a_n•b_n=（2+$\frac{1}{n}$）•（-200-n）=-401-（2n+$\frac{200}{n}$），
∵2n+$\frac{200}{n}$≥2$\sqrt{2n•\frac{200}{n}}$=40（当且仅当2n=$\frac{200}{n}$即n=10时等号成立），
∴a_n•b_n≤-401-40=-441，
∴c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{b}_{n}}$≥-$\frac{1}{441}$（当且仅当n=10时等号成立），
∴数列{c_n}的最小项为：c₁₀．

点评 本题考查求数列的通项，考查运算求解能力，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．