Question

6．设f（x）是偶函数，且当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x（3-x），0≤x≤3\\（x-3）（a-x），x＞3\end{array}$．
（1）当a=5时，判断f（x）=1有几个不同的实数根，说明理由；
（2）设函数f（x）在区间[-5，5]上最大值为g（a），试求g（a）的表达式；
（3）若方程f（x）=m恰有四个不同的实根x₁，x₂，x₃，x₄，x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且它们依次构成等差数列，求a的取值范围及m的值．

Answer 1

分析 （1）将a=5代入f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x（3-x），0≤x≤3\\（x-3）（a-x），x＞3\end{array}$，可求出f（x）=1的正根，进而根据f（x）是偶函数得到对应的负根；
（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[-5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，分类讨论，即可求得结论；
（3）设这四个根从小到大依次为x₁，x₂，x₃，x₄，则当方程f（x）=m在[-3，3]上有四个实根时，由x₄-x₃=2x₃，且x₄+x₃=3，得x₃=$\frac{3}{4}$，x₄=$\frac{9}{4}$，从而m=f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{27}{16}$，且要求f（x）＜$\frac{27}{16}$对x∈（3，+∞）恒成立，由此可得结论．

解答 解：（1）当0≤x≤3时，解f（x）=x（3-x）=1得：x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，或x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$…（2分）
当x＞3，a=5时，f（x）=（x-3）（5-x）=1得：x=4，
故x≥0时，f（x）=1有三个正根，
又∵f（x）是偶函数，
∴x≤0时，f（x）=1有三个负根，
综上f（x）=1有六个根，（4分）
（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[-5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，
①当a≤3时，f（x）在[0，$\frac{3}{2}$]上单调递增，在[$\frac{3}{2}$，+∞）上单调递减，所以g（a）=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$…（5分）
②当3＜a≤7时，f（x）在[0，$\frac{3}{2}$]与[3，$\frac{3+a}{2}$]上单调递增，在[$\frac{3}{2}$，3]与[$\frac{3+a}{2}$，5]上单调递减，
所以此时只需比较f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$与f（$\frac{3+a}{2}$）=$\frac{（a-3）^{2}}{4}$的大小．
1°当3＜a≤6时，f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$≥f（$\frac{3+a}{2}$）=$\frac{（a-3）^{2}}{4}$，所以g（a）=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$…（6分）
2°当6＜a≤7时，f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$＜f（$\frac{3+a}{2}$）=$\frac{（a-3）^{2}}{4}$，所以g（a）=f（$\frac{3+a}{2}$）=$\frac{（a-3）^{2}}{4}$…（7分）
3°当a＞7时，f（x）在[0，$\frac{3}{2}$]与[3，5]上单调递增，在[$\frac{3}{2}$，3]上单调递减，且f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$＜f（5）=2（a-5），所以g（a）=f（5）=2（a-5）…（8分）
综上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{4}，a≤6\\ \frac{（a-3）^{2}}{4}，6＜a≤7\\ 2（a-5），a＞7\end{array}\right.$ …（9分）
（3）设这四个根从小到大依次为x₁，x₂，x₃，x₄．
当方程f（x）=m在[-3，3]上有四个实根时，由x₄-x₃=2x₃，且x₄+x₃=3，得x₃=$\frac{3}{4}$，x₄=$\frac{9}{4}$从而m=f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{27}{16}$，且要求f（x）＜$\frac{27}{16}$对x∈（3，+∞）恒成立…（10分）
1°当a≤3时，f（x）在（3，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（3）=0＜$\frac{27}{16}$对x∈（3，+∞）恒成立，即a≤3适合题意…（11分）
2°当a＞3时，欲f（x）＜$\frac{27}{16}$对x∈（3，+∞）恒成立，只要f（$\frac{3+a}{2}$）=$\frac{（a-3）^{2}}{4}$＜$\frac{27}{16}$，解得a＜3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，故此时应满足3＜a＜3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$…（12分）
综上所述，a与m满足的条件为m=$\frac{27}{16}$且a＜3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查数列与函数的结合，属于中档题．