Question

18．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且$\frac{2}{sinB}$=$\frac{1}{sinA}$+$\frac{1}{sinC}$．
（1）求角B的范围；
（2）求f（B）=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{B}{2}$+2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$-3的最值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理的推论，结合已知可得b=$\frac{2ac}{a+c}$，结合基本不等式和余弦定理，可得cosB$≥\frac{1}{2}$，进而得到角B的范围；
（2）利用倍角公式和辅助角公式化简函数的解析式，根据（1）中B角的范围，结合正弦型函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：（1）∵$\frac{2}{sinB}$=$\frac{1}{sinA}$+$\frac{1}{sinC}$．
∴2sinAsinC=sinBsinC+sinAsinB，
∴2ac=bc+ab，
∴b=$\frac{2ac}{a+c}$，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$-$\frac{（\frac{2ac}{a+c}）^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$-$\frac{2ac}{（a+c）^{2}}$，
∵a²+c²≥2ac，（a+c）²≥4ac
∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$≥1，$\frac{2ac}{（a+c）^{2}}$≤$\frac{1}{2}$
∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$-$\frac{2ac}{（a+c）^{2}}$$≥\frac{1}{2}$，
即cosB$≥\frac{1}{2}$，
∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]
（2）f（B）=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{B}{2}$+2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$-3=$\sqrt{3}$cosB+sinB+$\sqrt{3}$-3=2sin（B+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$-3，
∵B∈（0，$\frac{π}{3}$]
∴B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
故当B+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{6}$时，f（B）取最大值$\sqrt{3}$-1，
当B+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，即B=$\frac{π}{3}$时，f（小）取最大值2$\sqrt{3}$-3

点评 本题考查的知识点是正弦定理，余弦定理，倍角公式，辅助角公式，正弦型函数的图象和性质，是三角函数的综合应用，难度中档．