Question

8．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x²+y²-4x+3=0相离，则双曲线离心e的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）
• C． （$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，+∞）
• D． （$\sqrt{2}$+1，+∞）

Answer 1

分析 利用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x²+y²-4x+3=0相离?圆心（2，0）到渐近线的距离大于半径r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．

解答 解：取双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0．
由圆x²+y²-4x+3=0化为（x-2）²+y²=1．圆心（2，0），半径r=1．
∵渐近线与圆x²+y²-4x+2=0相离，∴$\frac{|2b|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$＞1化为$\frac{1}{3}$a²＜b²．
∴$\frac{4}{3}$a²＜c²．
∴该双曲线的离心率e的取值范围是e＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相离的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键．