Question

19．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2，底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC₁上一点，且$BE=\frac{1}{3}B{C_1}$．
（1）求证：GE∥侧面AA₁B₁B；
（2）求三棱锥E-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）连结B₁E并延长，交BC于点F，连结AB₁，由三角形相似可得F为BC中点．再由G为△ABC的重心，得到GE∥AB₁，由线面平行的判定得答案；
（2）由已知求出三棱柱的高，把三棱锥E-ABC的体积转化为三棱锥C₁-ABC的体积得答案．

解答 （1）证明：如图，
连结B₁E并延长，交BC于点F，连结AB₁，
∵△B₁EC₁∽△FEB，且$BE=\frac{1}{2}E{C}_{1}$，
∴$BF=\frac{1}{2}BC$，则点F为BC中点．
∵G为△ABC的重心，∴$\frac{FG}{FA}=\frac{FE}{F{B}_{1}}=\frac{1}{3}$，
∴GE∥AB₁，
又AB₁?面AA₁B₁B，GE?面AA₁B₁B，∴GE∥面AA₁B₁B；
（2）解：∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，过A₁作A₁H⊥AB于H，
则A₁H⊥面ABC，则A₁H为三棱柱的高，
又侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2，∴${A}_{1}H=\sqrt{3}$．
又底面ABC是边长为2的正三角形，∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．
∴${V}_{E-ABC}=\frac{1}{3}{V}_{{C}_{1}-ABC}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．