Question

16．环保部门对甲、乙两家化工厂的生产车间排污情况进行检查，从甲厂家的5个生产车间和乙厂家的3个生产车间做排污是否合符国家限定标准的检验．检验员从以上8个车间中每次选取一个车间不重复地进行检验．
（1）求前3次检验的车间中至少有一个是乙厂家的车间的概率；
（2）记检验到第一个甲厂家的车间时所检验的车间个数共为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用对立事件的概率求解前3次检验的车间中至少有一个是乙厂家的车间的概率；
（2）记检验到第一个甲厂家的车间时所检验的车间个数共为ξ，求出ξ的可能值，求出概率得到分布列，然后求解数学期望．

解答 解：（1）前3次检验的车间中至少有一个是乙厂家的车间的概率：$P=1-\frac{5}{8}×\frac{4}{7}×\frac{3}{6}=\frac{23}{28}$
（2）由题意知ξ可取值1，2，3，4．
$P（ξ=1）=\frac{5}{8}$，$P（ξ=2）=\frac{3}{8}×\frac{5}{7}=\frac{15}{56}$，$P（ξ=3）=\frac{3}{8}×\frac{2}{7}×\frac{5}{6}=\frac{5}{56}$$P（ξ=4）=\frac{3}{8}×\frac{2}{7}×\frac{1}{6}=\frac{1}{56}$，
随机变量ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{5}{56}$	$\frac{1}{56}$

ξ的数学期望$Eξ=1×\frac{5}{8}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{5}{56}+4×\frac{1}{56}=\frac{3}{2}$

点评 本题考查独立重复试验，对立事件的概率，分布列以及期望的求法，考查计算能力．