Question

5．已知函数f（x）=e^x-ax-1（e为自然对数的底数），a＞0．
（1）若a=1，求函数f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f（x）在x=0处的切线方程；
（2）根据不等式恒成立转化为求函数f（x）的最小值，求函数的导数，利用导数进行求解即可．

解答 解：（1）若a=1，则f（x）=e^x-ax-1，有f（0）=0，
f′（x）=e^x-1，
所以斜率为f′（0）=0，所以切线为y=0．
（2）求导：f′（x）=e^x-a，
令f′（x）＞0，解得x＞lna，
所以函数在（lna，+∞）递增，（-∞，lna）递减，
所以在x=lna，取得最小值．
故f（x）≥0恒成立，等价于f（x）_min≥0，
即f（lna）=a-alna-1≥0成立．
令h（a）=a-alna-1，
h′（a）=-lna，
所以知h（a）在（0，1）递增，（1，+∞）递减．
有h（a）_max=h（1）=0，
所以当0＜a＜1或a＞1时，h（a）＜0，
所以a=1时，f（x）≥0对任意x∈R恒成立．
所以实数a的取值集合为{1}．

点评 本题主要考查导数的综合应用，以及函数切线的求解，利用导数的几何意义，求函数的导数是解决本题的关键．