Question

10．已知函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+（m²-1）x²+x（x∈R）为奇函数，其中m＞0为常数．
（1）求m的值，并求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性的性质求出m的值，利用导数的几何意义即可求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）根据函数单调性和到之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，
即m²-1=0，∵m＞0，∴解得m=1，
则f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x，
函数的f（x）的导数f′（x）=-x²+1，
则f′（1）=0，f（1）=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，即切线方程为y=$\frac{2}{3}$．
（2）∵f′（x）=-x²+1，
∴由f′（x）＞0解得-1＜x＜1，即增区间（-1，1），
由f′（x）＜0得x＞1或x＜-1，
即减区间（-∞，-1]，[1，+∞），
即当x=-1时，函数取得极小值f（-1）=-$\frac{2}{3}$．
x=1时，函数取得极大值f（1）=$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查导数的综合应用，利用导数的几何意义函数单调性极值和导数之间的关系是解决本题的关键．