Question

2．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（　　）

• A． $\frac{3}{20}$
• B． $\frac{3}{16}$
• C． $\frac{7}{20}$
• D． $\frac{2}{5}$

Answer 1

分析 由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案．

解答 解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；
如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，
再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有2×3=6种选择；
如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有2×3=6种选择，
得到第5球独占一盒的选择有4×（6+6）=48种，
第二类，第5球不独占一盒，先放1-4号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9×4=36，
根据分类计数原理得，不同的方法有36+48=84种．
而将五球放到4盒共有${C}_{5}^{2}$×${A}_{4}^{4}$=240种不同的办法，
故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率P=$\frac{84}{240}$=$\frac{7}{20}$
故选：C

点评 本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．