Question

13．方程sinx+$\sqrt{3}$cosx+a=0在（0，π）内有两个不同的解α、β，求：
（1）a的范围；
（2）α+β的值．

Answer 1

分析 （1）把原方程转化为a=-（sinx+$\sqrt{3}$cosx），利用两角和公式化简整理，根据正弦函数的图象来解决．
（2）根据函数图象的对称性来解决．

解答 解：
（1）∵sinx+$\sqrt{3}$cosx+a=0，
∴a=-（sinx+$\sqrt{3}$cosx）=-$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
如图a在区间（-$\sqrt{2}$，-1]有两个解，
故a的范围为（-$\sqrt{2}$，-1]．
（2）根据正弦函数的对称性可知，x=$\frac{α+β}{2}$正好落在函数图象的一个对称轴上，根据图象可知，此时对称轴方程为x=$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{α+β}{2}$=$\frac{π}{4}$，
α+β=$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数图象与性质．解题过程中运用了数形结合思想，是解决三角形问题的常用方法．