Question

4．已知互不相等的正数a，b，c，d，p，q满足a，c，b，d成等差数列，a，p，b，q成等比数列，则（　　）

• A． c＜p，d＞q
• B． c＞p，d＞q
• C． c＞p，d＜q
• D． c＜p，d＜q

Answer 1

分析 设公差为n，公比为m，且n≠0、m＞0、m≠1，由等差、等比数列的通项公式分别求出c、b、d、p、q，建立n、m的关系式，利用作差法比较出c和p的大小，化简d-q后构造函数f（m），求出此函数的导数，判断出函数的单调性、求出最大值，即可判断出d和q大小关系．

解答 解：设公差为n，公比为m，且n≠0、m＞0、m≠1，
则c=a+n、b=a+2n、d=a+3n，p=am、b=am²、q=am³，
所以a+2n=am²，得n=$\frac{1}{2}（a{m}^{2}-a）$，
所以c-p=a+n-am=a+$\frac{1}{2}（a{m}^{2}-a）$-am=$\frac{1}{2}a（{m}^{2}-2m+1）$=$\frac{1}{2}a（{m-1）}^{2}$＞0，
则c-p＞0，即c＞p，
d-q=a+3n-am³=a+$\frac{3}{2}（a{m}^{2}-a）$-am²=$\frac{3}{2}a（{-2m}^{3}+3{m}^{2}-1）$，
设f（m）=-2m³+3m²-1，则f′（m）=-6m²+6m，
因为m＞0、m≠1，所以当0＜m＜1时，f′（m）＞0，当m＞1时，f′（m）＜0，
所以函数f（m）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
则f（m） 的最大值是f（1）=0，即f（m）＜f（1）=0，
综上可得，d-q＜0，则d＜q，
故选：C．

点评 本题考查了等差、等比数列的通项公式，导数与函数的单调性、最值的关系，以及作差法、构造函数法的综合应用，考查化简、变形能力．