Question

1．O为△ABC所在平面内一点，且|$\overrightarrow{OA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²=|$\overrightarrow{OB}$|²+|$\overrightarrow{CA}$|²，求证：$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{OC}$．

Answer 1

分析 利用|$\overrightarrow{OA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²=|$\overrightarrow{OB}$|²+|$\overrightarrow{CA}$|²，化简可得（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$（$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$）-（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$）（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}$）=0，利用向量的运算，即可得出结论

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²=|$\overrightarrow{OB}$|²+|$\overrightarrow{CA}$|²，
∴（|$\overrightarrow{OA}$|²-|$\overrightarrow{OB}$|²）-（|$\overrightarrow{CA}$|²-|$\overrightarrow{BC}$|²）=0
（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$（$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$）-（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$）（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}$）=0，
∴$\overrightarrow{BA}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）-\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}）$=0，
所以$\overrightarrow{AB}（-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}）$=0
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OC}$=0
所以$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{OC}$．

点评 本题考查平面向量知识的运用，考查学生的计算能力，比较基础．