Question

14．已知等差数列{a_n}满足${a_3}=7，{a_5}+{a_7}=26，{b_n}=\frac{1}{{{a_n}^2-1}}（n∈{N^*}）$，数列{b_n}的前n项和为S_n，则S₁₀₀的值为（　　）

• A． $\frac{101}{25}$
• B． $\frac{35}{36}$
• C． $\frac{25}{101}$
• D． $\frac{3}{10}$

Answer 1

分析 利用已知条件求出等差数列{a_n}的通项公式，然后化简${b}_{n}=\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$，利用裂项求和，求解即可．

解答 解：在等差数列{a_n}中，a₅+a₇=2a₆=26⇒a₆=13，又数列{a_n}的公差$d=\frac{{{a_6}-{a_3}}}{6-3}=\frac{13-7}{3}=2$，
所以a_n=a₃+（n-3）d=7+（n-3）×2=2n+1，
那么${b_n}=\frac{1}{{{a_n}^2-1}}=\frac{1}{4n（n+1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
故S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）⇒{S_{100}}=\frac{1}{4}（1-\frac{1}{101}）=\frac{25}{101}$
故选：C．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．