Question

16．已知函数f（x）满足f（0）=1，且对于任意实数x，y∈R都有：f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2，若x∈[1，3]，则$\frac{f（x-1）}{{f}^{2}（x）+1}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{3}{17}$

Answer 1

分析 利用赋值法，先令y=x，x=y，两式相减得到f（x）-f（y）+y-x=0，再令y=0，求出f（x）=x+1，代入化简，利用基本不等式即可求出最值．

解答 解：f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2，①，
交换x，y的位置得到f（yx+1）=f（y）f（x）-f（x）-y+2，②
由①-②得f（x）-f（y）+y-x=0，
再令y=0，
则f（x）-f（0）-x=0，
∵f（0）=1，
∴f（x）=x+1，
∴$\frac{f（x-1）}{{f}^{2}（x）+1}$=$\frac{x}{{x}^{2}+2x+2}$=$\frac{1}{x+\frac{2}{x}+2}$≤$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，当且仅当x=$\sqrt{2}$∈[1，3]取等号，
∴则$\frac{f（x-1）}{{f}^{2}（x）+1}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了抽象函数式的解法，以及基本不等式的应用，属于中档题．