Question

17．已知半圆C：（x-2）²+y²=4（y≥0），直线 l：x-2y-2=0．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（I）写出C与 l的极坐标方程；
（Ⅱ）记A为C直径的右端点，C与l交于点M，且M为圆弧AB的中点，求|OB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将x=ρcosθ，y=ρsinθ分别代入半圆C与直线 l的方程中，整理得出它们的极坐标方程；
（Ⅱ）由题意求出点B的极角α的正切值tanα，利用三角函数的关系求出cosα，即可计算|OB|的值．

解答 解：（Ⅰ）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入半圆C：（x-2）²+y²=4（y≥0）中，
（ρcosθ-2）²+（ρsinθ）²=4，
化简得C的极坐标方程为
C：ρ=4cosθ（0≤θ≤$\frac{π}{2}$）；
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入直线 l：x-2y-2=0中，
得l的极坐标方程为
l：ρcosθ-2ρsinθ-2=0；…（4分）
（Ⅱ）根据题意，l经过半圆C的圆心C（2，0），
设点B的极角为α，则tanα=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{2}$，
即sinα=$\frac{1}{2}$cosα，
∴sin²α+cos²α=$\frac{1}{4}$cos²α+cos²α=$\frac{5}{4}$cos²α=1，
∴cos²α=$\frac{4}{5}$；
又α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；  …（6分）       
∴由C的极坐标方程得
|OB|=ρ=4cosα=4×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．  …（10分）

点评 本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程的互化和应用问题，也考查了三角函数的求值问题，是综合性题目．