Question

20．若对于函数f（x）=$\frac{sin|x|}{x}$+b，现给出四个命题：
①b=0时，f（x）为奇函数；
②y=f（x）的图象关于（0，b）对称；
③b=-1时，方程f（x）=0有且只有一个实数根；
④b=-1时，不等式f（x）＞0的解集为空集．
其中正确的命题是①②④．（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

分析 分析函数（x）=$\frac{sin|x|}{x}$的奇偶性，可判断①；结合函数图象的平移变换法则和①中结论，可判断②；根据方程sin|x|=x有且只有一个实根0，但0为方程f（x）=0的增根，可判断③；分类讨论$\frac{sin|x|}{x}$＞1解集的情况，可判断④

解答 解：①b=0时，f（x）=$\frac{sin|x|}{x}$，f（-x）=$\frac{sin|-x|}{-x}$=$\frac{sin|x|}{-x}$=-$\frac{sin|x|}{x}$，满足f（-x）=-f（x）为奇函数，即①正确；
②y=f（x）的图象，由y=$\frac{sin|x|}{x}$的图象向上平移b个单位得到，由①知y=$\frac{sin|x|}{x}$的图象关于原点对称，故y=f（x）的图象关于（0，b）对称，即②正确；
③方程sin|x|=x有且只有一个实根0，但x=0时，$\frac{sin|x|}{x}$=1，无意义，即b=-1时，方程f（x）=0无实数根，即③错误；
④当x＞0时，sin|x|＞x的解集为空集，即$\frac{sin|x|}{x}$＞1，的解集为空集，即f（x）＞0的解集为空集．
当x＜0时，sin|x|＜x的解集为空集，即$\frac{sin|x|}{x}$＞1，的解集为空集，即f（x）＞0的解集为空集．
综上，b=-1时，不等式f（x）＞0的解集为空集．故④正确
故正确的命题是：①②④；
故答案为：①②④

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了y=$\frac{sin|x|}{x}$的图象和性质，熟练掌握和理解y=$\frac{sin|x|}{x}$的图象和性质是解答的关键．