Question

16．设实数x₁，x₂，…，x_n中的最大数为max{x₁，x₂，…，x_n}，最小数为min{x₁，x₂，…，x_n}．已知1≤x≤y且三数1，x，y能构成三角形的三边长，记t=max{$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{y}$，y}•min{$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{y}$，y}，求：
（1）若y=x²，则t的最小值为1；
（2）t的取值范围是$[1，\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}）$．

Answer 1

分析 （1）若y=x²，则由1≤x≤y可得$\frac{1}{x}$=$\frac{x}{y}$≤y，此时此时t=x，当且仅当x=y=1时，t的最小值为1；
（2）显然max{$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{y}$，y}=y，又min{$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{y}$，y}=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}，y＜{x}^{2}\\ \frac{x}{y}，y≥{x}^{2}\end{array}\right.$，分类讨论，作出可行区域，求出在第一象限内的交点坐标，即可求出t的取值范围．

解答 解：（1）y=x²，由1≤x≤y，
可得$\frac{1}{x}$=$\frac{x}{y}$≤y，
此时t=max{$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{y}$，y}•min{$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{y}$，y}=$\frac{x}{y}$•y=x，
当且仅当x=y=1时，t的最小值为1，
（2）∵1≤x≤y且三数1，x，y能构成三角形的三边长，
∴max{$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{y}$，y}=y，又min{$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{y}$，y}=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}，y＜{x}^{2}\\ \frac{x}{y}，y≥{x}^{2}\end{array}\right.$，
①当y＜x²时，t=$\frac{y}{x}$，作出可行区域$\left\{\begin{array}{l}1≤x≤y\\ y＜x+1\\ y＜{x}^{2}\end{array}\right.$，

因抛物线y=x²与直线y=x及y=x+1在第一象限内的交点分别是（1，1）和（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$），从而1＜t＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
②当y≥x²时，t=x，作出可行区域$\left\{\begin{array}{l}1≤x≤y\\ y＜x+1\\ y≥{x}^{2}\end{array}\right.$，

因抛物线y=x²与直线y=x及y=x+1在第一象限内的交点分别是（1，1）和（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$），从而1≤t＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
综上所述，t的取值范围是[1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）．
故答案为：[1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）．
故答案为：1，[1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）

点评 本题考查t的取值范围，考查抛物线知识，考查新定义，确定可行区域，求出在第一象限内的交点坐标是关键．