Question

2．已知椭圆C的焦点为F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），且椭圆C的下顶点到直线x+y-2=0的距离为3$\sqrt{2}$/2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若一直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B（A、B不是椭圆C 的顶点）两点，以AB为直径的圆过椭圆C 的上顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）通过题意可设椭圆C的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），利用点（0，-b）到直线x+y-2=0的距离公式可得b=1，结合c=$\sqrt{2}$，计算即得结论；
（2）通过联立直线l：y=kx+m与椭圆C的方程，利用韦达定理，结合AQ⊥BQ，计算可得m=1或m=-$\frac{1}{2}$，进而可得结论．

解答 （1）解：∵椭圆C的焦点为F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），
∴可设椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵椭圆C的下顶点（0，-b）到直线x+y-2=0的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{|-b-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，解得b=1，
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：设椭圆C的上顶点为Q（0，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（$\frac{1}{3}$+k²）x²+2kmx+m²-1=0，
∵直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B（A、B不是椭圆C的顶点）两点，
∴△=4k²m²-4（$\frac{1}{3}$+k²）（m²-1）=4（k²-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{1}{3}$）＞0，即3k²-m²+1＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3（{m}^{2}-1）}{1+3{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{1+3{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k²•$\frac{3（{m}^{2}-1）}{1+3{k}^{2}}$+km（-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$）+m²=$\frac{{m}^{2}-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
∵AQ⊥BQ，∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=0，即x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0，
∴$\frac{3（{m}^{2}-1）}{1+3{k}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$-$\frac{2m}{1+3{k}^{2}}$+1=0，
化简得：2m²-m-1=0，解得m=1或m=-$\frac{1}{2}$，
当m=1时，直线l：y=kx+1过定点Q（0，1），与已知矛盾；
当m=-$\frac{1}{2}$时，满足3k²-m²+1＞0，
此时直线l：y=kx-$\frac{1}{2}$过定点（0，-$\frac{1}{2}$），
∴直线l过定点（0，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．