Question

14．某射手击中目标的概率为0.8，现给他五发子弹，规定只要击中目标立即停止射击；没击中目标，继续射击，直到子弹全部打完为止．
（1）求射手射击三次的概率．
（2）若用X表示射手停止射击后剩余子弹的个数，求变量X的分布列与期望E（X）的值．

Answer 1

分析 记射手第i此击中目标为A_i（i=1，2，3，4，5），则P（A_i）=0.8
（1）射手射击三次的概率P=P（$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}{A}_{3}$），
（2）X=0，1，2，3，4，5，P（X=0）=$P（\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}\overline{{A}_{4}}\overline{{A}_{5}}$+$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}\overline{{A}_{4}}{A}_{5}$），P（X=1）=$P（\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}{A}_{4}）$，
P（X=2）=P（$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}{A}_{3}$），P（X=3）=P（$\overline{{A}_{1}}{A}_{2}$），P（X=4）=P（A₁），即可求解

解答 解：记射手第i此击中目标为A_i（i=1，2，3，4，5），则P（A_i）=0.8
（1）射手射击三次的概率P=P（$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}{A}_{3}$）=0.2×0.2×0.8=0.032    
（2）X=0，1，2，3，4，5
P（X=0）=$P（\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}\overline{{A}_{4}}\overline{{A}_{5}}$+$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}\overline{{A}_{4}}{A}_{5}$）=0.2×0.2×0.2×0.2×（0.2+0.8）=0.0016，
P（X=1）=$P（\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}{A}_{4}）$=0.2×0.2×0.2×0.8=0.0064，
P（X=2）=P（$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}{A}_{3}$）=0.2×0.2×0.8=0.032，
P（X=3）=P（$\overline{{A}_{1}}{A}_{2}$）=0.2×0.8=0.16，
P（X=4）=P（A₁）=0.8，
分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	0.0016	0.0064	0.0032	0.16	0.8

EX=0×0.0016+1×0.0064+2×0.032+3×0.16+4×0.8=3.7504．

点评 本题主要考查了离散型随机变量的分布列及期望的求解，解题的关键是每种情况下概率的求解．