Question

9．已知点A，B的坐标分别为（0，-3），（0，3）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-3．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）斜率为k的直线l过点E（0，1），且与点M的轨迹交于C，D两点，k_AC，k_AD分别为直线AC，AD的斜率，探索对任意的实数k，k_AC•k_AD是否为定值，若是，则求出该值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），由k_AM•k_BM=-3，（x≠0）利用斜率计算公式即可得出；
（2）k_AC•k_AD为定值-6．设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．直线l的方程为：y=kx+1．与椭圆方程联立化为（3+k²）x²+2kx-8=0，利用根与系数的关系可得（y₁+3）（y₂+3）=$\frac{48}{3+{k}^{2}}$．代入k_AC•k_AD=$\frac{{y}_{1}+3}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+3}{{x}_{2}}$，即可证明．

解答 解：（1）设M（x，y），∵k_AM•k_BM=-3，
∴$\frac{y+3}{x}•\frac{y-3}{x}$=-3，（x≠0）．
化为$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1，
∴点M的轨迹方程为$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1，（x≠0）．
（2）k_AC•k_AD为定值-6．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．直线l的方程为：y=kx+1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为（3+k²）x²+2kx-8=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2k}{3+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-8}{3+{k}^{2}}$．
∴（y₁+3）（y₂+3）=y₁y₂+3（y₁+y₂）+9
=（kx₁+1）（kx₂+1）+3（kx₁+kx₂+2）+9
=k²x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16
=$\frac{-8{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$+16
=$\frac{48}{3+{k}^{2}}$．
∴k_AC•k_AD=$\frac{{y}_{1}+3}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+3}{{x}_{2}}$=$\frac{\frac{48}{3+{k}^{2}}}{\frac{-8}{3+{k}^{2}}}$=-6为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．