Question

19．已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前五项和S₅=20，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和，若存在n∈N^*，使得T_n-λa_n+1≥0成立．求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的求和公式和等比数列的性质，解方程可得a₁=2，d=1，再由等差数列的通项即可得到；
（2）运用裂项相消求和，求得T_n，再由参数分离和基本不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，由已知得$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{5}=20}\\{{{a}_{3}}^{2}={a}_{1}{a}_{7}}\end{array}\right.$
即为$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=20}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=4}\\{2{d}^{2}={a}_{1}d}\end{array}\right.$，由d≠0，即有$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=1}\end{array}\right.$，
故a_n=2+n-1=n+1；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
∴${T_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$，
∵存在n∈N^*，使得T_n-λa_n+1≥0成立，
∴存在n∈N^*，使得$\frac{n}{2（n+2）}$-λ（n+2）≥0成立，
即λ≤$\frac{n}{2（n+2）^{2}}$有解，
即有λ≤[$\frac{n}{2（n+2）^{2}}$]_max，
而$\frac{n}{2（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{2（n+\frac{4}{n}+4）}$≤$\frac{1}{2（2\sqrt{n•\frac{4}{n}}+4）}$=$\frac{1}{16}$，n=2时取等号
∴$λ≤\frac{1}{16}$．

点评 本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查等比数列的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，运用参数分离和基本不等式是解题的关键．