Question

14．函数f（x）=x³-$\frac{a}{2}$x²-2a²x+$\frac{3}{2}$的图象经过四个象限，则a的取值范围是（-∞，-$\frac{9\sqrt{11}}{22}$）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，结合函数图象所在的象限，从而求出a的范围．

解答 解：f′（x）=（3x+2a）（x-a），令f′（x）=0得：x=-$\frac{2a}{3}$，x=a，
当a＜0时，f（x）在（-∞，a）和（-$\frac{2}{3}$a，+∞）上是增函数，在（a，-$\frac{2}{3}$a）上是减函数，
因为f（0）=$\frac{3}{2}$＞0，所以f（x）必过一、二、三象限，故只要f（x）极小值小于0即可．
f（-$\frac{2}{3}$a）＜0的解为：a＜-$\frac{9\sqrt{11}}{22}$，
同理，当a＞0时，f（a）＜0得：a＞1．
综上，a的取值范围是（-∞，-$\frac{9\sqrt{11}}{22}$）∪（1，+∞），
故答案为：（-∞，-$\frac{9\sqrt{11}}{22}$）∪（1，+∞）．

点评 本题考察了函数的单调性，考察导数的应用，考察分类讨论思想，是一道中档题．