Question

4．已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F与双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点重合，C₁与C₂相交于点 A，B．
（1）若A，F，B三点共线，求双曲线C₂的离心率e；
（2）设点P为双曲线C₂上异于A，B的任一点，直线AP、BP分别与x轴交于点M（m，0）和N（n，0），问：mn是否为定值？若为定值，请求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过A，F，B三点共线，利用对称性可知点A的横坐标是c，代入双曲线方程可得点A$（c，±\frac{b^2}{a}）$，利用点A在抛物线y²=4cx上可得b²=2ac，利用b²=c²-a²，计算即可；
（2）通过设P（x₁，y₁），A（x₂，y₂），B（x₂，-y₂），代入双曲线方程，结合直线PA的方程，令y=0得$m=\frac{{{x_2}{y_1}-{x_1}{y_2}}}{{{y_1}-{y_2}}}$，以-y₂代换y₂得$n=\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$，计算即可．

解答 解：（1）设双曲线的右焦点为F（c，0），
依题意得抛物线的方程为y²=4cx，
∵A，F，B三点共线，∴点A的横坐标是c，
代入双曲线方程解得$y=±\frac{b^2}{a}$，即点A的坐标是$（c，±\frac{b^2}{a}）$，
∵点A在抛物线y²=4cx上，∴$\frac{b^4}{a^2}=4{c^2}$，即b²=2ac，
将b²=c²-a²代入上式，整理得：${（\frac{c}{a}）^2}-2•\frac{c}{a}-1=0$，
即e²-2e-1=0，解得$e=1±\sqrt{2}$，
∵e＞1，∴所求双曲线C₂的离心率$e=\sqrt{2}+1$；
（2）结论：mn为定值a²．
理由如下：
设P（x₁，y₁），A（x₂，y₂），B（x₂，-y₂），
代入双曲线方程得$\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1\;，\;\frac{x_2^2}{a^2}-\frac{y_2^2}{b^2}=1$，
而直线PA的方程为（x₂-x₁）（y-y₁）+（x-x₁）（y₁-y₂）=0，
令y=0得$m=\frac{{{x_2}{y_1}-{x_1}{y_2}}}{{{y_1}-{y_2}}}$，
在$m=\frac{{{x_2}{y_1}-{x_1}{y_2}}}{{{y_1}-{y_2}}}$中，以-y₂代换y₂得$n=\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$，
∴$mn=\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}•\frac{{{x_2}{y_1}-{x_1}{y_2}}}{{{y_1}-{y_2}}}=\frac{x_2^2y_1^2-x_1^2y_2^2}{y_1^2-y_2^2}$=$\frac{{{a^2}（1+\frac{y_2^2}{b^2}）y_1^2-{a^2}（1+\frac{y_1^2}{b^2}）y_2^2}}{y_1^2-y_2^2}=\frac{{{a^2}y_1^2-{a^2}y_2^2}}{y_1^2-y_2^2}={a^2}$，
故mn为定值a²．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查双曲线的离心率等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．