Question

5．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；
②每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局；
③每位参加者按A，B，C，D顺序作答，直至答题结束．
假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A，B，C，D分别是第一、二、三、四个问题，用M_i（i=1，2，3，4）表示甲同学第i个问题回答正确，用N_i（i=1，2，3，4）表示第i个问题回答错误，根据两者之间为独立事件列式求解．
（Ⅱ）列出随机变量ξ可能的取值，根据事件的独立性求出每个的概率得到分布列期望．

解答 解：设A，B，C，D分别是第一、二、三、四个问题，用M_i（i=1，2，3，4）表示甲同学第i个问题回答正确，用N_i（i=1，2，3，4）表示第i个问题回答错误，则M_i与N_i（i=1，2，3，4）是对立事件，由题意得，P（M₁）=$\frac{3}{4}$，P（M₂）=$\frac{1}{2}$，P（M₃）=$\frac{1}{3}$
P（M₄）=$\frac{1}{4}$则P（N₁）=$\frac{1}{4}$，P（N₂）=$\frac{1}{2}$，P（N₃）=$\frac{2}{3}$，P（N₄）=$\frac{3}{4}$，
（Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，则Q=M₁M₂M₃+N₁M₂M₃M₄+M₁N₂M₃M₄+M₁M₂N₃M₄+N₁M₂N3M₄
由于每题答题结果互相独立，因此
P（Q）=P（M₁M₂M₃+N₁M₂M₃M₄+M₁N₂M₃M₄+M₁M₂N₃M₄+N₁M₂N3M₄）
=P（M₁M₂M₃+）+P（N₁M₂M₃M₄）+P（M₁N₂M₃M₄）+P（N₁M₂N₃M₄）
=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$$+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
（Ⅱ）由题意可知随机变量ξ可能的取值为2，3，4，．
由于每题的答题结构都是相对独立的，所以P（ξ=2）=P（N₁N₂），
P（ξ=3）=P（M₁M₂M₃）+P（M₁N₂N₃）=$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{3}$+$\frac{3}{4}$$•\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{3}{8}$
P（ξ=3）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=1-$\frac{1}{8}$-$\frac{3}{8}$=$\frac{1}{2}$
因此随机变量ξ的分布列为

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{2}$

所以Eξ=2×$\frac{1}{8}$+3×$\frac{3}{8}$+4×$\frac{1}{2}$=$\frac{27}{8}$．

点评 本题主要考查概率的求法和随机变量的分布列和期望，属于中档题，高考题常有涉及．