Question

15．已知直线l：2x-y=3，若矩阵A=$（\begin{array}{l}{-1}&{a}\\{b}&{3}\end{array}）$a，b∈R所对应的变换σ把直线l变换为它自身．
（Ⅰ）求矩阵A；                  
（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设直线2x-y=3上任意一点P（x，y），利用其在A的作用下变为（x′，y′），可用x、y表示出x′、y′，代入2x′-y′=3，计算即可；
（Ⅱ）直接计算即可．

解答 解：（Ⅰ）设P（x，y）为直线2x-y=3上任意一点，
其在A的作用下变为（x′，y′），
则$[\begin{array}{l}{-1}&{a}\\{b}&{3}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-x+ay}\\{bx+3y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x′=-x+ay}\\{y′=bx+3y}\end{array}\right.$，
代入2x′-y′=3得：-（b+2）x+（2a-3）y=3，
∵其与2x-y=3完全一样，∴$\left\{\begin{array}{l}{-b-2=2}\\{2a-3=-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴矩阵A=$[\begin{array}{l}{-1}&{1}\\{-4}&{3}\end{array}]$；
（Ⅱ）∵$|\begin{array}{l}{-1}&{1}\\{-4}&{3}\end{array}|$=1，∴矩阵M的逆矩阵为A^-1=$[\begin{array}{l}{3}&{-1}\\{4}&{-1}\end{array}]$．

点评 本题主要考查矩阵变换的性质，考查二阶矩阵的乘法，注意解题方法的积累，属于基础题．