Question

7．已知函数f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N⁺）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄的值为（　　）

• A． log₂₀₁₅2014
• B． 1
• C． -log₂₀₁₅2014
• D． -1

Answer 1

分析 由f′（x）=（n+1）xⁿ，知k=f′（1）=n+1，故点P（1，1）处的切线方程为：y-1=（n+1）（x-1），令y=0，得x_n=$\frac{n}{n+1}$，运用对数的性质和累乘法，能求出log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄的值．

解答 解：函数f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N⁺）的导数为
f′（x）=（n+1）xⁿ，
切线斜率k=f′（1）=n+1，
点P（1，1）处的切线方程为：y-1=（n+1）（x-1），
令y=0得，x=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
即x_n=$\frac{n}{n+1}$，
∴x₁•x₂•…•x₂₀₁₅=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2014}{2015}$=$\frac{1}{2015}$，
则log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄=log₂₀₁₅（x₁•x₂•…•x₂₀₁₅）
=log₂₀₁₅$\frac{1}{2015}$=-1．
故选D．

点评 本题主要考查利用导数求曲线上某点的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数性质的灵活运用和累乘法的运用．