Question

17．实数列a₀，a₁，a₂，a₃，…，由下述等式定义：a_n+1=2ⁿ-3a_n，n=0，1，2，3，…
（1）若a₀为常数，求a₁，a₂，a₃的值；
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n}}{（-3）^{n}}$，求数列{b_n}（n∈N）的通项公式（用a₀、n来表示）；
（3）是否存在实数a₀，使得数列{a_n}（n∈N）是单调递增数列？若存在，求出a₀的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2ⁿ-3a_n，分别令n=0，1，2即可得出；
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n}}{（-3）^{n}}$，a_n+1=2ⁿ-3a_n，可得b_n+1-b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（-3）^{n+1}}-$$\frac{{a}_{n}}{（-3）^{n}}$=$\frac{{2}^{n}}{（-3）^{n+1}}$，利用“累加求和”、等比数列的前n项和公式即可得出；
（3）a_n=$（{a}_{0}-\frac{1}{5}）•（-3）^{n}$+$\frac{1}{5}•{2}^{n}$，可得a_n+1-a_n=-4$（{a}_{0}-\frac{1}{5}）$（-3）ⁿ+$\frac{1}{5}×{2}^{n}$，要使{a_n}为递增数列，则a_n+1-a_n＞0对任意n∈N^*恒成立，对a₀分类讨论即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=2ⁿ-3a_n，
∴a₁=1-3a₀，a₂=2-3a₁=-1+9a₀，a₃=7-27a₀．
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n}}{（-3）^{n}}$，a_n+1=2ⁿ-3a_n，
∴b_n+1-b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（-3）^{n+1}}-$$\frac{{a}_{n}}{（-3）^{n}}$=$\frac{{2}^{n}}{（-3）^{n+1}}$，
∴b_n+（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=$\frac{{2}^{n-1}}{（-3）^{n}}$+$\frac{{2}^{n-2}}{（-3）^{n-1}}$+…+$\frac{{2}^{2}}{（-3）^{3}}$+$\frac{2}{（-3）^{2}}$+b₁
=b₁$-\frac{1}{3}$$[（-\frac{2}{3}）+（-\frac{2}{3}）^{2}+…+（-\frac{2}{3}）^{n-1}]$
=b₁-$\frac{1}{3}$×$\frac{（-\frac{2}{3}）[1-（-\frac{2}{3}）^{n-1}]}{1-（-\frac{2}{3}）}$=b₁+$\frac{2}{15}[1-（\frac{2}{3}）^{n-1}]$，
∴b_n=-$\frac{1}{3}{a}_{1}$+$\frac{2}{15}[1-（\frac{2}{3}）^{n-1}]$=a₀-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}（-\frac{2}{3}）^{n}$．
（3）a_n=（-3）ⁿ$[{a}_{0}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}•（-\frac{2}{3}）^{n}]$=$（{a}_{0}-\frac{1}{5}）•（-3）^{n}$+$\frac{1}{5}•{2}^{n}$，
∴a_n+1-a_n=-4$（{a}_{0}-\frac{1}{5}）$（-3）ⁿ+$\frac{1}{5}×{2}^{n}$，
要使{a_n}为递增数列，则a_n+1-a_n＞0对任意n∈N^*恒成立，
当a₀＞$\frac{1}{5}$时，∵|-3|＞2，∴当n→+∞且n为偶数时，a_n+1-a_n＜0；
当a₀＞$\frac{1}{5}$时，∵|-3|＞2，∴当n→+∞且n为奇数时，a_n+1-a_n＜0；
而当${a}_{0}=\frac{1}{5}$时，则a_n+1-a_n=$\frac{1}{5}×{2}^{n}$＞0对任意n∈N^*恒成立，
∴存在实数a₀=$\frac{1}{5}$，使得数列{a_n}是单调递增数列．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的前n项和公式、数列的单调性、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．