Question

8．已知实数a、b、c满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞b＞c}\\{a+b+c=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=1}\end{array}\right.$，试求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得a，b是方程x²-（1-c）x+c²-c=0的两个不等实根，由判别式大于0可得-$\frac{1}{3}$＜c＜1．再由（c-a）（c-b）＞0，解得c＜0，或c＞$\frac{2}{3}$，取交集得到-$\frac{1}{3}$＜c＜0，从而得到1＜a+b＜$\frac{4}{3}$．

解答 解：因为a+b=1-c，ab=$\frac{（a+b）^{2}-（{a}^{2}+{b}^{2}）}{2}$=c²-c，所以a，b是方程x²-（1-c）x+c²-c=0的两个不等实根，
则△=（1-c）²-4（c²-c）＞0，解得-$\frac{1}{3}$＜c＜1．
而（c-a）（c-b）=c²-（a+b）c+ab＞0，即c²-（1-c）c+c²-c＞0，解得c＜0，或c＞$\frac{2}{3}$（不和题意，舍去），
所以-$\frac{1}{3}$＜c＜0，即1＜a+b＜$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，式子的变形是解题的关键，属于中档题．