Question

20．已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函数y=f（x）满足下列三个条件：
①y=f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②对于定义域内的任意实数a、b满足f（ab）=f（a）+f（b）；
③f（3）=-1
（1）求f（9）的值；
（2）解不等式f（x）＜f（x+1）-2．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，令x=y=3，即可求出f（9）的值；
（2）根据已知条件原不等式转化为f（x）＜f（9x+9），再根据y=f（x）在（0，+∞）上单调递减；且f（x）为偶函数，得到不等式组，解得即可．

解答 解：（1）∵f（ab）=f（a）+f（b），f（3）=-1
令x=y=3，
则f（9）=2f（3）=-2，
（2）∵f（x）＜f（x+1）-2，
∴f（x）＜f（x+1）+f（9）=f（9x+9），
∵y=f（x）在（0，+∞）上单调递减；且f（x）为偶函数，
∴y=f（x）在（-∞，0）上单调递增，
∴①$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{9x+9＞0}\\{x＞9x+9}\end{array}\right.$，或②$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{9x+9＜0}\\{x＜9x+9}\end{array}\right.$，
解不等式组①得，无解，
解得不等式组②得，-$\frac{9}{8}$＜x＜-1，
故不等式f（x）＜f（x+1）-的解集为（-$\frac{9}{8}$，-1）．

点评 本题考查抽象函数应用，赋值法是常用的方法，以及函数的奇偶性和单调性和不等式组的解法，属于基础题．