Question

15．设F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，点A、B分别在双曲线的两条渐近线上，AF⊥x轴，BF⊥x轴，BF∥OA，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OB}$=0，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 设k_OB=-$\frac{b}{a}$，利用$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OB}$=0，可得k_AB=$\frac{a}{b}$，再求出A，B的坐标，可得k_AB=$\frac{3b}{a}$，即可求出双曲线的离．

解答 解：由题意，设k_OB=-$\frac{b}{a}$，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OB}$=0，∴k_AB=$\frac{a}{b}$，
直线FB的方程为y=$\frac{b}{a}$（x-c），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{b}{a}x}\\{y=\frac{b}{a}（x-c）}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{2a}$），
∵A（c，$\frac{bc}{a}$），
∴k_AB=$\frac{3b}{a}$=$\frac{a}{b}$，
∴b²=$\frac{1}{3}$a²，
∴c²=a²+b²=$\frac{4}{3}$a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，是基础题．