Question

4．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．已知f（x）=$\frac{1}{12}$x⁴-$\frac{1}{6}$mx³-$\frac{3}{2}$x²，若对任意的实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b-a的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 先求f″（x）=x²-mx-3，从而由凸函数的定义知|m|≤2时，x²-mx-3＜0在（a，b）上恒成立，并且可以得到mx＞x²-3恒成立，讨论x的取值：x=0时，容易判断上面不等式成立；x＞0时，会得到$m＞x-\frac{3}{x}$，从而得到-2$＞x-\frac{3}{x}$，解该不等式0＜x＜1；同样的方法x＜0时，会得到-1＜x＜0，最后即得到-1＜x＜1，从而得出b-a的最大值2．

解答 解：根据已知，|m|≤2时，f″（x）=x²-mx-3＜0在（a，b）上恒成立；
∴mx＞x²-3恒成立；
（1）当x=0时，f″（x）=-3＜0显然成立；
（2）当x＞0时，$m＞x-\frac{3}{x}$；
∵m的最小值为-2；
$-2＞x-\frac{3}{x}$；
解得0＜x＜1；
（3）当x＜0时，m$＜x-\frac{3}{x}$；
∵m的最大值为2；
∴$2＜x-\frac{3}{x}$；
解得-1＜x＜0；
综上可得-1＜x＜1；
∴b-a的最大值为1-（-1）=2．
故选C．

点评 考查对凸函数定义的理解，能够想到根据m的范围来解不等式x²-mx-3＜0，要熟悉二次函数的图象，并正确求导．