Question

18．已知n=$\int_1^{e^4}{\frac{1}{x}}$dx，那么${（x-\frac{3}{x}）^n}$展开式中含x²项的系数为-12．

Answer 1

分析 利用定积分，求出n，然后利用二项式定理求解即可．

解答 解：n=$\int_1^{e^4}{\frac{1}{x}}$dx=lnx${|}_{1}^{{e}^{4}}$=4．
${（x-\frac{3}{x}）^n}$=${（x-\frac{3}{x}）}^{4}$，展开式的通项公式为：${C}_{4}^{r}{x}^{4-r}（{-\frac{3}{x}）}^{r}$=${C}_{4}^{r}{x}^{4-2r}{（-3）}^{r}$．
令4-2r=2，可得r=1，展开式中含x²项的系数${C}_{4}^{1}（-3）^{1}$=-12，
故答案为：-12．

点评 本题考查考查定积分以及二项式定理的应用，考查计算能力．