Question

6．在高中数学课本中我们见过许多的“信息技术应用”，我们可以利用几何画板软件的拖动、动画及计算等功能来研究许多数学问题，比如：在平面内做一条线段KL，以定点A为圆心，以|KL|为半径作一圆，在圆内取一定点F，在圆上取动点B，作线段BF的中垂线与圆A的半径AB交于点P．当点B在圆上运动时，就会发现点P的运动轨迹．
（Ⅰ）你能猜出点P的轨迹是什么曲线吗？请说明理由；若|KL|=6，|AF|=4，以线段AF的中点O为原点，以直线AF为x轴，建立平面直角坐标系，试求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点A作直线l与点P的轨迹交于两点M、N，试求线段MN的中点Q的轨迹方程；
（Ⅲ）拖动改变线段KL的长度，会发现点P的轨迹C的形状在发生变化，请问在保持（Ⅰ）中轨迹C类型不变的前提下，当C的离心率e在什么范围变化时，C上总存在点R，使得AR⊥FR？

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结PF，通过中垂线的性质及等价代换可知|PA|+|PF|=|KL|，即点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，计算可得其轨迹方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知A（-2，0），将M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）代入点P的方程，利用中点坐标公式，分x₁≠x₂、x₁=x₂两种情况讨论即可；
（Ⅲ）通过设C的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），作圆：x²+y²=c²（c＞0，c²=a²-b²），利用c≥b计算即可．

解答 解：（Ⅰ）结论：点P的轨迹是以点A、F为焦点的椭圆．
理由如下：
连结PF，由题意可知|PF|=|PB|，
∴|PA|+|PF|=|PA|-|PB|=|AB|=|KL|（定值，且|KL|＞|AF|），
由椭圆的定义可知：点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆；
∵|KL|=6，|AF|=4，
∴2a=6，2c=4，即a=3，c=2，
∴b²=a²-c²=5，
∴点P的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知A（-2，0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}{5{{x}_{1}}^{2}+9{{y}_{1}}^{2}=45}\\{5{{x}_{2}}^{2}+9{{y}_{2}}^{2}=45}\end{array}\right.$，可得：5（x₁+x₂）（x₁-x₂）=-9（y₁+y₂）（y₁-y₂），
当x₁≠x₂时，k_MN=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$-\frac{5}{9}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$-\frac{5}{9}$•$\frac{x}{y}$，
又∵k_MN=k_AQ，即$-\frac{5}{9}$•$\frac{x}{y}$=$\frac{y-0}{x+2}$，
∴5x²+9y²+10x=0；
当x₁=x₂时，x₁=x₂=-2，
此时Q（-2，0）也满足方程：5x²+9y²+10x=0；
∴线段MN的中点Q的轨迹方程为：5x²+9y²+10x=0；
（Ⅲ）在保持（Ⅰ）中轨迹C类型不变的前提下，C为椭圆，
设其方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
作圆：x²+y²=c²（c＞0，c²=a²-b²）．
当此圆与椭圆C有公共点时，C上总存在点R，使得AR⊥FR，此时应有c≥b．
∴c²≥b²，∴c²≥a²-c²，
即2c²≥a²，∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$≥$\frac{1}{2}$，
又∵0＜e＜1，∴e∈[$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查轨迹方程，考察椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．