Question

20．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c．若cosB=$\frac{1}{4}，sinC=2sinA，{S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，则b=（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 已知第二个等式利用正弦定理化简得到c=2a，根据cosB的值求出sinB的值，利用三角形面积公式列出关系式，把sinB及c=2a代入求出a的值，进而求出c的值，利用余弦定理求出b的值即可．

解答 解：把sinC=2sinA利用正弦定理化简得：c=2a，
∵cosB=$\frac{1}{4}$，B为三角形的内角，
∴sinB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，c=2a，
∴2a²=2，即a²=1，
解得：a=1，c=2a=2，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=1+4-1=4，
解得：b=2．
故选：C．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．