Question

10．过抛物线C：x²=4y对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线l与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．
（1）当直线l方程为x-2y+12=0时，过A，B两点的圆M与抛物线在点A处有共同的切线，求圆M的方程
（2）设$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，证明：$\overrightarrow{QP}$⊥（$\overrightarrow{QA}$-λ$\overrightarrow{QB}$）

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+12=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$得点A、B的坐标分别是（6，9）、（-4，4）．求出AB的垂直平分线方程，抛物线在点A处的切线斜率为3．利用待定系数法，求出圆M的方程；
（2）可设直线AB的方程为y=kx+m，代入抛物线方程x²=4y得x²-4kx-4m=0．设A、B两点的坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），x₁x₂=-4m．由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，得λ=-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$．由此可以推出$\overrightarrow{QP}$⊥（$\overrightarrow{QA}$-λ$\overrightarrow{QB}$）．

解答 （1）解：由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+12=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$得点A、B的坐标分别是（6，9）、（-4，4），
则AB的中点为（1，$\frac{13}{2}$），斜率为k=$\frac{9-4}{6-（-4）}$=$\frac{1}{2}$，
故AB的垂直平分线方程为4x+2y-17=0．
由x²=4y得y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，y′=$\frac{1}{2}x$，所以抛物线在点A处的切线斜率为3
设圆M的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-9}{a-6}=-\frac{1}{3}}\\{a+b-14=0}\end{array}\right.$
解得a=-$\frac{3}{2}$，b=$\frac{23}{2}$，r²=$\frac{125}{2}$
所以圆M的方程为（x+$\frac{3}{2}$）²+（y-$\frac{23}{2}$）²=$\frac{125}{2}$；
（2）证明：设AB方程为y=kx+m，A、B两点的坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
代入抛物线方程x²=4y得x²-4kx-4m=0，x₁+x₂=-4k，x₁x₂=-4m
由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，得λ=-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，又点Q（0，2m），从而$\overrightarrow{QP}$=（0，2m）
$\overrightarrow{QA}$-λ$\overrightarrow{QB}$=（x₁-λx₂，y₁-λy₂+（1-λ）m），
所以$\overrightarrow{QP}$•（$\overrightarrow{QA}$-λ$\overrightarrow{QB}$）=2m[y₁-λy₂+（1-λ）m]=2m（x₁+x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+4m}{4{x}_{2}}$=0
所以$\overrightarrow{QP}$⊥（$\overrightarrow{QA}$-λ$\overrightarrow{QB}$）．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查圆的方程，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．