Question

5．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a=1，c=4$\sqrt{2}$且△ABC的面积为2，则sinC=（　　）

• A． $\frac{4}{41}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{4}{25}$
• D． $\frac{4\sqrt{41}}{41}$

Answer 1

分析 S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=2，可得sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．利用余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=25或41，b=5或$\sqrt{41}$，利用正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，代入解出即可．

解答 解：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×1×4\sqrt{2}×sinB$=2，∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴b²=a²+c²-2accosB=$1+（4\sqrt{2}）^{2}$-2×$1×4\sqrt{2}$×$（±\frac{\sqrt{2}}{2}）$=25或41，
∴b=5或$\sqrt{41}$，
∴b=5．
由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴sinC=$\frac{4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{5}$=$\frac{4}{5}$．
同理b=$\sqrt{41}$时，sinC=$\frac{4\sqrt{41}}{41}$．
故选：无答案．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．