Question

16．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BCC₁B₁是矩形，截面A₁BC是等边三角形．  
（I）求证：AB=AC；
（Ⅱ）若AB⊥AC，平面A₁BC⊥底面ABC，求二面角B-B₁C-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （I）取BC中点O，连OA，OA₁．证明：BC⊥平面A₁OA，可得BC⊥OA，即可证明AB=AC；
（Ⅱ）分别以OA，OB，OA₁为正方向建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面BB₁C的法向量、平面A₁B₁C的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B-B₁C-A₁的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：取BC中点O，连OA，OA₁．
因为侧面BCC₁B₁是矩形，所以BC⊥BB₁，BC⊥AA₁，
因为截面A₁BC是等边三角形，所以BC⊥OA₁，
于是BC⊥平面A₁OA，BC⊥OA，因此：AB=AC．…（4分）
（Ⅱ）解：设BC=2，则OA₁=$\sqrt{3}$，由AB⊥AC，AB=AC得OA=1．
因为平面A₁BC⊥底面ABC，OA₁⊥BC，所以OA₁⊥底面ABC．
如图，分别以OA，OB，OA₁为正方向建立空间直角坐标系O-xyz． …（6分）
A（1，0，0），B（0，1，0），A₁ （0，0，$\sqrt{3}$），C（0，-1，0），
$\overrightarrow{CB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，0）．
设平面BB₁C的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，1）．
同理可得平面A₁B₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，则二面角B-B₁C-A₁的余弦值为-$\frac{\sqrt{7}}{7}$． …（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查二面角的余弦值，考查向量法的运用，正确运用向量法是关键．