Question

6．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，长度单位相同，直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=t-1\\ y=t+1\end{array}\right.（{t为参数}）$，曲线C的极坐标方程为：ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}}$）．
（Ⅰ）判断曲线C的形状，简述理由；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于M，N，O是坐标原点，求三角形MON的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用两角差的正弦公式和ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得到曲线C的普通方程，即可判断形状；
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入圆的普通方程，可得M，N的坐标，再由三角形的面积公式计算即可得到．

解答 解：（Ⅰ）ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}}$）即为ρ=2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ）
=2sinθ-2cosθ，即ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ，
即有x²+y²+2x-2y=0，即为（x+1）²+（y-1）²=2，
则曲线C的形状为以（-1，1）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆；
（Ⅱ）将直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=t-1\\ y=t+1\end{array}\right.（{t为参数}）$，
代入圆（x+1）²+（y-1）²=2，可得2t²=2，
解得t=±1，
可得M（0，2），N（-2，0），
则三角形MON的面积为S=$\frac{1}{2}$×2×2=2．

点评 本题考查极坐标方程和普通方程的互化，同时考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于基础题．