Question

14．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别为PB，CD的中点，二面角P-CD-A的大小为60°，AC=AD=$\sqrt{2}$，CD=PN=2，PC=PD．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AN，可以判断AC⊥AD，AN=1，根据条件即知∠PNA为二面角P-CD-A的平面角，即∠PNA=60°，从而能求出$PA=\sqrt{3}$，并且PA⊥AN，而同理可得到PA⊥AC，根据线面垂直的判定定理即可得出PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）首先分别以AC，AD，AP三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并求出图形上各点的坐标，设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$．设直线MN与平面PCD所成角为θ，根据sin$θ=|cos＜\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{n}＞|$即可求出sinθ．

解答 解：（Ⅰ）证明：连接AN，∵N为CD中点，且AC=AD=$\sqrt{2}$，PC=PD；
∴AN⊥CD，PN⊥CD；
∴∠PNA是二面角P-CD-A的平面角，即∠PNA=60°；
又CD=2，∴AC²+AD²=CD²，∴∠CAD=90°，AN=1；
又PN=2，∴在△PNA中，由余弦定理可得PA=$\sqrt{3}$；
∴PN²=PA²+AN²；
∴∠PAN=90°，PA⊥AN，PC=$\sqrt{5}$，同理PA⊥AC；
又AN∩AC=A；
∴PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）分别以AC，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），B$（\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0）$，P（0，0，$\sqrt{3}$），M（$\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（$\sqrt{2}$，0，0），D（0，$\sqrt{2}$，0），N（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）；
∴$\overrightarrow{MN}=（0，\sqrt{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{PC}=（\sqrt{2}，0，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{PD}=（0，\sqrt{2}，-\sqrt{3}）$；
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{2}x-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=\sqrt{2}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{z=\frac{\sqrt{6}}{3}x}\end{array}\right.$，取x=1，∴$\overrightarrow{n}=（1，1，\frac{\sqrt{6}}{3}）$；
设直线MN与平面PCD所成角为θ，则：
sinθ=|cos$＜\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{\frac{11}{4}}•\sqrt{\frac{8}{3}}}=\frac{\sqrt{33}}{22}$；
∴直线MN与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{33}}{22}$．

点评 考查直角三角形边的关系，二面角及二面角平面角的概念，余弦定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，能求空间点的坐标，平面法向量的概念，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式．