Question

4．如图，已知点S（-2，0）和圆O：x²+y²=4，ST是圆O的直径，从左到右M、O和N依次是ST的四等分点，P（异于S，T）是圆O上的动点，PD⊥ST，交ST于D，$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{ED}$，直线PS与TE交于C，|CM|+|CN|为定值．
（1）求点C的轨迹曲线Γ的方程及λ的值；
（2）设n是过原点的直线，直线l与n垂直相交于Q点，l与轨迹Γ相交于A，B两点，且|$\overrightarrow{OQ}$|=1．是否存在直线l，使$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{QB}$=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出点的坐标，得$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}=\frac{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{1+λ}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，根据|CM|+|CN|为定值，建立条件关系即可求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；
（2）分类讨论，根据$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{QB}$=1，|$\overrightarrow{OQ}$|=1，进行转化，将y=kx+m代入椭圆方程，利用x₁x₂+y₁y₂=0，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，T（2，0），M（-1，0），N（1，0），
设P（x₀，y₀），C（x，y），则E（x₀，$\frac{{y}_{0}}{1+λ}$），
直线PS与TE交于C，故x≠±2，
$\frac{y}{x+2}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$①且$\frac{y}{x-2}=\frac{\frac{{y}_{0}}{1+λ}}{{x}_{0}-2}$，②
①②相乘得$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}=\frac{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{1+λ}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，
又点P是圆O上的动点，故$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{1+λ}}=1$，（4分）
要使|CM|+|CN|为定值，则4-$\frac{4}{1+λ}$=1，解得λ=$\frac{1}{3}$．
此时$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≠±2）．
即λ=$\frac{1}{3}$时，点C的轨迹曲线E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≠±2）．
（2）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），假设使$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{QB}$=1成立的直线l存在，
（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，
由l与n垂直相交于Q点且|$\overrightarrow{OQ}$|=1．得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=k²+1
∵$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{QB}$=1，|$\overrightarrow{OQ}$|=1．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{QA}$）•（$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{QB}$）=0
即x₁x₂+y₁y₂=0，
将y=kx+m代入椭圆方程，得（3+4k²）x²+8kmx+（4m²-12）=0
由求根公式可得x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，④x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$ ⑤
0=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
将④，⑤代入上式并化简得 （1+k²）（4m²-12）-8k²m²+m²（3+4k²）=0⑥
将m²=1+k²代入⑥并化简得-5（k²+1）=0，矛盾，即此时直线l不存在；
（ⅱ）当l垂直于x轴时，满足|$\overrightarrow{OQ}$|=1的直线l的方程为x=1或x=-1，
当X=1时，A，B，Q的坐标分别为（1，$\frac{3}{2}$），（1，-$\frac{3}{2}$），（1，0），
∴$\overrightarrow{AQ}$=（0，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{QB}$=（0，-$\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{QB}$=$\frac{9}{4}$≠1
当x=-1时，同理可得$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{QB}$≠1，矛盾，即此时直线l也不存在
综上可知，使$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{QB}$=1成立的直线l不存在．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．