Question

19．如图：在三棱锥P-ABC中，AB=AC=2$\sqrt{10}$，BC=4，PC=2$\sqrt{11}$，点P在平面ABC内的射影恰为△ABC的重心G，M为侧棱AP上一动点．
（1）求证：平面PAG⊥平面BCM；
（2）当M为AP中点时，求三棱锥M-PGC的体积．

Answer 1

分析 （1）取BC中点D，连接AD、PD，由已知条件推导出PG⊥BC，AG⊥BC，从而得到BC⊥平面PAG，由此能够证明平面PAG⊥平面BCM．
（2）利用三棱锥M-PGC的体积=$\frac{1}{2}{V}_{A-PGC}$=$\frac{1}{2}{V}_{P-AGC}$，可得三棱锥M-PGC的体积．

解答 （1）证明：取BC中点D，连接AD、PD，
∵PG⊥平面ABC，∴PG⊥BC，
等腰△ABC中，G为重心，∴AG⊥BC，
∴BC⊥平面PAG，
∴平面PAG⊥平面BCM；
（2）解：△ABC中，AD=6，∴GD=2，
∵BC⊥平面PAG，∴CD⊥PD，
∴PD=2$\sqrt{10}$，∴GP=6，
∴三棱锥M-PGC的体积=$\frac{1}{2}{V}_{A-PGC}$=$\frac{1}{2}{V}_{P-AGC}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×4×6$=4．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥M-PGC的体积的求法，正确运用平面PAG⊥平面BCM的判定是关键．