Question

14．一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、左视图、俯视图的面积分别是1，2，4，则这个几何体的外接球的表面积为21π．

Answer 1

分析 几何体是一个三棱锥，一条侧棱与底面垂直，底面是一个直角三角形，根据正视图、侧视图、俯视图面积分别是1、2、4．求出三条边的长度，这个三棱锥的外接球也是以这个三棱锥三条侧棱为棱的长方体的外接球，做出长方体的直径，求出球的表面积．

解答 解：由题意知几何体是一个三棱锥，一条侧棱与底面垂直，底面是一个直角三角形，
∵正视图、侧视图、俯视图面积分别是1、2、4，
设出三条互相垂直的棱长是x，y，z，
有xz=2，yz=4，xy=8，
∴x=2，y=4，z=1，
这个三棱锥的外接球也是以这个三棱锥三条侧棱为棱的长方体的外接球，
长方体的直径是2R=$\sqrt{4+16+1}$=$\sqrt{21}$，
∴几何体的外接球的表面积是4π×$\frac{21}{4}$=21π，
故答案为：21π．

点评 本题考查球和几何体之间的关系，本题解题的关键是根据三条侧棱两两垂直的关系得到由这三条侧棱构成的长方体，从而得到外接球的表面积．