Question

3．给出下列四个命题：
①圆（x+2）²+y²=4与圆（x-2）²+（y-1）²=9相交；
②总体的概率密度函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{2π}}$e${\;}^{-\frac{（x-3）^{2}}{2}}$，x∈R的图象关于直线x=3对称；f（x）的最大值为$\frac{1}{\sqrt{2π}}$．
③已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₇＞S₅，则S₉＞S₃；
④若函数y=f（x-$\frac{3}{2}$）为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点F（$\frac{3}{2}$，0）成中心对称．
其中所有正确命题的序号为①②③．

Answer 1

分析 求出圆心距，并判断与半径和与半径差的关系，可判断①；分析函数函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{2π}}$e${\;}^{-\frac{（x-3）^{2}}{2}}$，x∈R的图象和性质，可判断②；根据等差数列的性质可说明③正确；直接由函数图象的平移说明④错误．

解答 解：圆（x+2）²+y²=4与圆（x-2）²+（y-1）²=9的半径分别为2，3，
故半径和为5，半径差为1，
圆（x+2）²+y²=4与圆（x-2）²+（y-1）²=9的圆心距d=$\sqrt{（2+2）^{2}+1}$=$\sqrt{17}$∈[1，5]，
故圆（x+2）²+y²=4与圆（x-2）²+（y-1）²=9相交，故①正确；
函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{2π}}$e${\;}^{-\frac{（x-3）^{2}}{2}}$，f（6-x）=$\frac{1}{\sqrt{2π}}{e}^{{\;}^{-\frac{{（6-x-3）}^{2}}{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2π}}{e}^{{\;}^{-\frac{{（3-x）}^{2}}{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2π}}{e}^{{\;}^{-\frac{{（x-3）}^{2}}{2}}}$=f（x），故函数f（x）的图象关于直线x=3对称；
由${\;}^{-\frac{{（x-3）}^{2}}{2}}$的最大值为0，故x=3时，f（x）的最大值为$\frac{1}{\sqrt{2π}}$．故②正确；
等差数列{a_n}若S₇＞S₅，则2a₁+11d＞0，则S₉-S₃=6a₁+33d＞0，即S₉＞S₃，命题③正确；
对于④，函数y=f（x-$\frac{3}{2}$）为R上的奇函数，则其图象关于（0，0）中心对称，
而函数y=f（x）的图象是把y=f（x-$\frac{3}{2}$）的图象向左平移$\frac{3}{2}$个单位得到的，
∴函数y=f（x）的图象一定关于点F（-$\frac{3}{2}$，0）成中心对称．命题④错误．
故正确命题的序号为：①②③
故答案为：①②③．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆的位置关系，函数图象和性质，等差数列，考查了函数图象的平移，是中档题．