Question

8．设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A（0，2），右焦点F（2$\sqrt{2}$，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在经过点（0，-3）的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足关于直线y=-$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$x+2对称？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意设出椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（\;a＞b＞0\;）$，并由题意得到b，c的值，结合隐含条件求得a，则椭圆方程可求；
（2）假设存在直线l满足题目要求，可设直线l的方程为y=kx-3（k≠0），设出M、N的坐标，由MN与直线$y=-\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+2$垂直求得直线l的斜率，得到直线l的方程，
将M、N的坐标代入椭圆方程后利用点差法得到$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-3•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，代入斜率后得到关于M，N中点的一个方程，再由M、N的中点在l上得另一方程，联立求得M、N的中点坐标，验证所求中点坐标在直线y=-$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$x+2上说明假设成立．

解答 解：（1）依题意，设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（\;a＞b＞0\;）$，$c=2\sqrt{2}$，b=2，
∴a²=b²+c²=12，从而可得椭圆方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）假设存在直线l满足题目要求，可设直线l的方程为y=kx-3（k≠0），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵MN与直线$y=-\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+2$垂直，则$-\frac{\sqrt{6}}{2}k=-1$，k=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直线l方程为：$y=\frac{{\sqrt{6}}}{3}x-3$，
将M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）代入椭圆方程$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$，并作差，整理得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-3•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$（*），
$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
设MN中点P（x_p，y_p），则${x_p}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，{y_p}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，
代入*得：$\frac{{\sqrt{6}}}{3}=-3\frac{x_p}{y_p}$，即${x_p}=-\sqrt{6}{y_p}$，
∵P（x_p，y_p）在MN上，∴${y_p}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}{x_p}-3$，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{{x_p}=-\sqrt{6}{y_p}}\\{{y_p}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}{x_p}-3}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_p}=\sqrt{6}}\\{{y_p}=-1}\end{array}}\right.$．
经检验$P（{\sqrt{6}，-1}）$满足直线方程$y=-\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+2$，MN与直线$y=-\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+2$垂直，且线段MN中点P在直线上，
∴存在满足条件的直线，直线l方程为$y=\frac{{\sqrt{6}}}{3}x-3$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，训练了“点差法”在解决中点弦问题中的应用，属中高档题．