Question

13．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）线段PQ是椭圆过点F₂的弦，且$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$，求△PF₁Q面积的最大值，并求出对应λ的值．

Answer 1

分析 （1）由题意e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，ab=2$\sqrt{3}$，结合椭圆的a，b，c的关系，由此能求出椭圆方程；
（2）分类讨论，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合二次函数的最值，确定当直线PQ与x轴垂直时△PF₁Q面积最大．

解答 解：（1）椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
又∵连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4$\sqrt{3}$，
∴ab=2$\sqrt{3}$，又a²-b²=c²，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）显然直线PQ不与x轴重合，
当直线PQ与x轴垂直时，|PQ|=3，|F₁F₂|=2，${S}_{△P{F}_{1}Q}$=3；
当直线PQ不与x轴垂直时，设直线PQ：y=k（x-1），k≠0代入椭圆C的标准方程，
整理，得（3+4k²）y²+6ky-9k²=0，
△＞0，y₁+y₂=$\frac{-6k}{3+4{k}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-9{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
 ${S}_{△P{F}_{1}Q}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{\frac{36{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{-36{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}$=12$\sqrt{\frac{{k}^{2}+k}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，
令t=3+4k²，∴t＞3，k²=$\frac{t-3}{4}$，
${S}_{△P{F}_{1}Q}$=3$\sqrt{-3（\frac{1}{t}+\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，
∵0＜$\frac{1}{t}$＜$\frac{1}{3}$，
∴${S}_{△P{F}_{1}Q}$∈（0，3），
由上，得${S}_{△P{F}_{1}Q}$∈（0，3]，
∴当直线PQ与x轴垂直时${S}_{△P{F}_{1}Q}$最大，且最大面积为3．
∴$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$，λ=1．

点评 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查三角形面积的计算，属于中档题．