Question

1．已知椭圆M：x²+2y²=2．
（Ⅰ）求M的离心率及长轴长；
（Ⅱ）设过椭圆M的上顶点A的直线l与椭圆M的另一个交点为B，线段AB的垂直平分线交椭圆M于C，D两点．问：是否存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知椭圆M的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，可知：$a=\sqrt{2}$，b=1．c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，即可得出离心率与长轴长．
（II）若C，O，D三点共线，CD是线段AB的垂直平分线，可得|OA|=|OB|．由（I）可得：A（0，1），设B（x₀，y₀），${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=1．与${x}_{0}^{2}+2{y}_{0}^{2}$=2，联立解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知椭圆M的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，可知：$a=\sqrt{2}$，b=1．
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2a=2$\sqrt{2}$．
（II）若C，O，D三点共线，CD是线段AB的垂直平分线，
可得|OA|=|OB|．由（I）可得：A（0，1），设B（x₀，y₀），∴${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=1．
又${x}_{0}^{2}+2{y}_{0}^{2}$=2，联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}=1}\\{{x}_{0}^{2}+2{y}_{0}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=0}\\{{y}_{0}=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=0}\\{{y}_{0}=1}\end{array}\right.$（舍去）．
当取点B（0，-1）时，直线l的方程为x=0，满足条件．
∴存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点），直线l的方程为：x=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．