Question

11．设矩阵M=$（\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{1}\end{array}）$．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）若曲线C：x²+4xy+2y²=1在矩阵M的作用下变换成曲线C′：x²-2y²=1，求a+b的值．

Answer 1

分析 （I）通过M的行列式det（M）=-5，直接可得结论；
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），变换后得到点P′（x′，y′），利用$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，并将点P′（x′，y′）代入曲线C′，比较系数即得结论．

解答 解：（I）当a=2，b=3时，M的行列式det（M）=-5，
∴所求的逆矩阵M^-1=$[\begin{array}{l}{-\frac{1}{5}}&{\frac{2}{5}}\\{\frac{3}{5}}&{-\frac{1}{5}}\end{array}]$；
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′（x′，y′），
则$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+ay=x′}\\{bx+y=y′}\end{array}\right.$，
又点P′（x′，y′）在曲线C′上，
∴所以x′²-2y′²=1，则（x+ay）²-2（bx+y）²=1，
即（1-2b²）x²+（2a-4b）xy+（a²-2）y²=1为曲线C的方程，
又已知曲线C的方程为x²+4xy+2y²=1，
比较系数可得$\left\{\begin{array}{l}{1-2{b}^{2}=1}\\{2a-4b=4}\\{{a}^{2}-2=2}\end{array}\right.$，
解得：b=0，a=2，∴a+b=2．

点评 本题考查矩阵的变换等知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．