Question

1．已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|．
（1）解不等式f（x）≥1；
（2）若函数f（x）的最大值为m，且a+b+c=m，a，b，c均为正实数，求$\sqrt{a+c}$+$\sqrt{b+1}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）≥1的解集．
（2）由（1）可得f（x）的最大值为m=3，即a+b+c=3，再根据柯西不等式求得$\sqrt{a+c}$+$\sqrt{b+1}$的最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-2|-|x-5|表示数轴上的x对应点到2对应点的距离减去它到5对应点的距离，
而4对应点到2对应点的距离减去它到5对应点的距离正好等于1，
故不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥4}．
（2）由（1）可得f（x）的最大值为m=3，故有a+b+c=m=3，
根据柯西不等式可得（a+c+b+1）（1+1）≥${（\sqrt{a+c}+\sqrt{b+1}）}^{2}$，即 4×2≥${（\sqrt{a+c}+\sqrt{b+1}）}^{2}$，
∴2$\sqrt{2}$≥$\sqrt{a+c}$+$\sqrt{b+1}$，当且仅当$\frac{a+c}{1}$=$\frac{b+1}{1}$，即a+c=b+1时，取等号，
故$\sqrt{a+c}$+$\sqrt{b+1}$的最大值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题．