Question

11．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局比赛，若甲胜得2分，乙得1分；若乙胜得2分，甲得0分；比赛进行到有一人比对方多2分以上（包含2分）或打满5局时停止，设甲在每局中获胜的概率为$\frac{2}{3}$，乙在每局中获胜的概率为$\frac{1}{3}$，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共打ξ局．
（1）求比赛结束时甲得分高于乙得分的概率；
（2）列出随机变量ξ的分布列，求ξ的期望值Eξ．

Answer 1

分析 由题意比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，所以随机变量ξ的所有可能的取值为2，4，6，利用随机变量的定义及独立事件同时发生的概率公式求出每一个随机变量取值时对应的随机事件的概率，在有离散型随机的期望公式求出期望．

解答 解：（1）共出现的比分有2：0，3：1，3：2；
若甲胜，则甲得分一定高于乙得分，设事件A为甲2：0胜，事件B为甲3：1胜，事件C为甲3：2胜，其概率分别是P（A）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$．
P（B）=${C}_{2}^{1}\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{16}{81}$
P（C）=4×$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{32}{243}$，
∴比赛结束时甲得分高于乙得分的概率P=$\frac{4}{9}+\frac{16}{81}+\frac{32}{243}=\frac{107}{243}$
（2）随机变量ξ可能取得值为2，4，5．
P（ξ=2）=$\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}$
P（ξ=4）=$\frac{16}{81}+\frac{4}{81}=\frac{20}{81}$
P（ξ=5）=$\frac{32}{243}+\frac{16}{243}=\frac{16}{81}$
随机变量ξ的分布列为

ξ	2	4	5
P	$\frac{5}{9}$	$\frac{20}{81}$	$\frac{16}{81}$

Eξ=2×$\frac{5}{9}+4×\frac{20}{81}+5×\frac{16}{81}=\frac{250}{81}$

点评 此题考查学生对于题意的准确理解，以及对于随机变量的定义的理解及独立事件及其公式的准确理解及应用，此外还考查了期望的定义．属于中档题型．