Question

1．若直线l：xcosθ+ysinθ-1=0与圆（x-cosθ）²+（y-1）²=$\frac{1}{16}$相切，且θ为锐角，则直线l的斜率是-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由条件利用直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式求得sinθ=$\frac{1}{2}$．再结合θ为锐角，可得θ=$\frac{π}{6}$，从而求得直线xcosθ+ysinθ-1=0的斜率的值．

解答 解：由题意可得圆心（cosθ，1）到直线xcosθ+ysinθ-1=0的距离等于半径$\frac{1}{4}$，
即$\frac{|co{s}^{2}θ+sinθ-1|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}}$=$\frac{1}{4}$，化简可得|sinθ-sin²θ|=$\frac{1}{4}$，即 sinθ-sin²θ=$\frac{1}{4}$，求得sinθ=$\frac{1}{2}$．
再结合θ为锐角，可得θ=$\frac{π}{6}$，故直线xcosθ+ysinθ-1=0的斜率为-$\sqrt{3}$，
故答案为：-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．